Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально и движущегося под действием одной только силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Например, представим себе, что шару, лежащему на столе, сообщают толчок, и он докатывается до края стола и начинает свободно падать, имея начальную скорость , направленную горизонтально (рис. 174).
Спроектируем движение шара на вертикальную ось и на горизонтальную ось . Движение проекции шара на ось - это движение без ускорения со скоростью ; движение проекции шара на ось - это свободное падение с ускорением бее начальной скорости под действием силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Компонента скорости остается постоянной и равной . Компонента растет пропорционально времени: . Результирующую скорость легко найти по правилу параллелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.
Рис. 174. Движение шара, скатившегося со стола
Рис. 175. Шар, брошенный горизонтально со скоростью имеет в момент скорость
Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально. Координаты тела в момент времени имеют значения
Чтобы найти уравнение траектории, выразим из (112.1) время через и подставим это выражение в (112.2). В результатё получим
График этой функции показан на рис. 176. Ординаты точек траектории оказываются пропорциональными квадратам абсцисс. Мы знаем, что такие кривые называются параболами. Параболой изображался график пути равноускоренного движения (§ 22). Таким образом, свободно падающее тело, начальная скорость которого горизонтальна, движется по параболе.
Путь, проходимый в вертикальном направлении, не зависит от начальной скорости. Но путь, проходимый в горизонтальном направлении пропорционален начальной скорости. Поэтому при большой горизонтальной начальной скорости парабола, по которой падает тело, более вытянута в горизонтальном направлении. Если из расположенной горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177), то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик, двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная скорость воды и тем дальше от крана попадает струя на дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начерченными на нем параболами, можно убедиться, что струя воды действительно имеет форму параболы.
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?
$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$
Закон движения тела имеет вид:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$
Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,
\ \ \
С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \
Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:
Ниже размещены условия задач и отсканированные решения. Если вам нужно решить задачу на эту тему, вы можете найти здесь похожее условие и решить свою по аналогии. Загрузка страницы может занять некоторое время в связи с большим количеством рисунков. Если Вам понадобится решение задач или онлайн помощь по физике- обращайтесь, будем рады помочь.
Принцип решения этих задач заключается в разложении скорости свободно падающего тела на две составляющие - горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальное движение происходит с ускорением свободного падения g=9.8 м/с 2 . Также может применяться закон сохранения механической энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энерги тела в данном случае постоянна.
Материальная точка брошена под углом к горизонту с начальной скоростью 15 м/с. Начальная кинетическая энергия в 3 раза больше кинетической энергии точки в верхней точке траектории. На какую высоту поднималась точка?
Тело брошено под углом 40 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние, которое пролетит тело до падения, высоту подъема в верхней точке траектории и время в полете.
Тело брошено с башни высотой H вниз, под углом α к горизонту, с начальной скоростью v. Найти расстояние от башни до места падения тела.
Тело массой 0,5 кг брошено с поверхност Земли под углом 30 градусов к горизонту, с начальной скоростью 10 м/с. Найти потенциальную и кинетическую энергии тела через 0,4 с.
Материальная точка брошена вверх с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Определить скорость точки на высоте 3 м.
Тело брошено вверх с поверхности Земли под углом 60 градусов с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние до точки падения, скорость тела в точке падения и время в полете.
Тело брошено вверх под углом к горизонту с начальной скоростю 20 м/с. Расстояние до точки падения в 4 раза больше максимальной высоты подъема. Найти угол, под которым брошено тело.
Тело брошено с высоты 5 м под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 22 м/с. Найти дальность полета тела и время полета тела.
Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1с после броска.
Тело брошено с поверхности Зесли под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 14,7 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1,25с после броска.
Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время угол между скоростью и горизонтом станет равным 45 градусов?
Мяч, брошенный в спортзале под углом к горизонту, с начальной скоростью 20 м/с, в верхней точке траектории коснулся потолка на высоте 8м и упал на некотором расстоянии от места броска. Найти это расстояние и угол, под которым брошено тело.
Тело, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало через 2,2с. Найти максимальную высоту подъема тела.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту. На некоторой высоте камень побывал дважды - через время 1с и 3 с после броска. Найти эту высоту и начальную скорость камня.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние от точки бросания до камня через 4 с.
Снаряд выпущен в момент, когда самолет пролетает над орудием, под углом к горизонту с начальной скоростью 500 м/с. Снаряд поразил самолет на высоте 3,5 км через 10с после выстрела. Какова скорость самолета?
Ядро массой 5 кг брошено с поверхности Земли под углом 60 градусов к горизонту. На разгон гири потрачена энергия 500Дж. Определить дальность полета и время в полете.
Тело брошено с высоты 100м вниз под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Найти дальность полета тела.
Тело массой 200г, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало на расстоянии 5м через время 1,2с. Найти работу по броску тела.
Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью \(~\vec \upsilon_0\). Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox \[~\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Проекции ускорения: g x = 0; g y = -g .
Тогда движение тела будет описываться уравнениями:
\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}; \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)
Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), а в вертикальном - равноускоренно.
Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы υ y = 0, можно найти время t 1 подъема тела до верхней точки параболы:
\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}. \qquad (5)\)
Подставив значение t 1 в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:
\(~h_{max} = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g} - \frac{g}{2} \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{g^2},\) \(~h_{max} = \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{2g}\) - максимальная высота подъема тела.
Время полета тела находим из условия, что при t = t 2 координата y 2 = 0. Следовательно, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac{gt^2_2}{2} = 0\). Отсюда, \(~t_1 = \frac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g}\) - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что t 2 = 2 t 1 . Время движения тела с максимальной высоты t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени t 2 , найдем:
\(~l = \frac{2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha}{g} = \frac{\upsilon^2_0 \sin 2\alpha}{g}\) - дальность полета тела.
Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле
\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)} = \sqrt{\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2} .\)
Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 16-17.
