Y kx b что такое b. Элементарные функции и их график

Функция вида y = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки.

Функция вида y = kx

Функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.

Графиком является прямая, проходящая через начало координат и располагающаяся в 1 и 3 четвертях, если k > 0, во 2 и 4 четвертях, если k < 0.

k - называется коэффициентом пропорциональности и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. k = tg б

Прямая у = х является биссектрисой 1 и 3 координатных углов, а прямая у = х является биссектрисой 1 и 4 координатных углов.

Пример. Построить графики функций у = 2х, у = х, у = 2х.

Функция прямая пропорциональная зависимость, графикам являются прямые.

Так как графики проходят через начало координат, то одна из точек имеет координаты (0; 0), поэтому можно взять еще одну точку.

у = х, у = 2х, у = 2х,

х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = 2.

Функция вида y = kx + b

Графиком функции является прямая, у = kx, смещенная параллельным переносом по оси У на b единиц, в сторону согласно знаку b.

Построение можно вести по двум точкам или параллельным смещением.

Пример. Построить график функции у = 3х 4.

Функция линейная, графиком является прямая.

Построение можно вести параллельным переносом прямой у = 3х на 2 единицы вниз по оси У.

Функция вида у = b

Графиком функции является прямая, параллельная оси Х, проходящая через точку с координатами (0; b).

Построить график функции у = 3.

Функция линейная, графиком является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)

Уравнение прямой х = с

Прямая х = с не является функцией. Однако, графиком является прямая, параллельная оси О У и проходящая через точку с координатами (с; 0).

Важно!

Функцию вида «y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители «k » и «b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо «k » и «b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо «k » и «b » стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b ».

y = 5x + 3
y = −x + 1
y = x − 2 k =
2
3
b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0
Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b ».
Рассматривая функцию «y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента «b » в функции нет.
Числовый коэффициент «b » присутствет в функции типа «y = kx + b » всегда. В функции «y = 0,5x » числовый коэффициент «b » равен нулю .

Как построить график линейной функции
«y = kx + b »

Запомните!
Графиком линейной функции «y = kx + b » является прямая .

Так как графиком функции «y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией .

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
«у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции «y » для двух произвольных значений «x ». Подставим, например, вместо «x » числа «0 » и «1 ».

Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо «x », лучше брать числа «0 » и «1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения «x » и «y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b »

Рассмотрим задачу.

Построить график функции «y = 2x + 3 ». Найти по графику:
1. значение «y » соответствующее значению «x » равному −1; 2; 3; 5 ;
2. значение «x », если значение «y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции «y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x ». Для удобства расчетов выберем числа «0 » и «1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3 ».

Требуется найти значение «y », соответствующее значению «x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .
- Ox » к нулю (x = 0) ;
- подставить вместо «x » в формулу функции ноль и найти значение «y »;
- Oy » .
Подставим вместо «x » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

Y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Oy ».
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью «Ox » (осью абсцисс) нужно:
- приравнять координату точки по оси «Oy » к нулю (y = 0) ;
- подставить вместо «y » в формулу функции ноль и найти значение «x »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy » .
Подставим вместо «y » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3: 1,5
x = 2

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Ox ».
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Важно!
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox » , то приравниваем «y » к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy » , то приравниваем «x » к нулю.

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0

Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Класс: 8

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Основные цели:

сформировать представление о функции у = кх 2 , ее свойствах и графике;
повторить и закрепить: сведения о функции у = х 2 , свойствах функции, известные по курсу 7 класса.

Демонстрационный материал:

1) алгоритм построения графика функции:

2) Правило определения расположения графика в зависимости от коэффициента к:

3) самостоятельная работа: На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

4) образец для самопроверки самостоятельной работы.

Раздаточный материал:

1) карточка:

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

2) карточка для рефлексии:

ХОД УРОКА

1. Мотивация к учебной деятельности

Цели:

организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности;
организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: продолжаем работать с функциями;
создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте! Что интересного вы узнали на предыдущих уроках? (Мы изучали функцию у = | х |, график этой функции и ее свойства.)
– Сегодня вы продолжите знакомиться с новыми функциями.
– С каким настроением вы будете работать сегодня? (С хорошим настроением).
– Успехов Вам!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности

Цели:

актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.
зафиксировать актуализированные способы действий в речи и в знаках;
организовать обобщение актуализированных способов действий;
мотивировать к выполнению индивидуального задания;
организовать самостоятельное выполнение индивидуального задания на новое знание;
организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Проанализируйте несколько слайдов 2-5 и ответьте на вопрос:

– С каким графиком вы будете работать сегодня? (С параболой).

– Выберите, графиком какой функции является парабола у = х + 2, у = 2/х , у = х 2 ? (у = х 2 . Эту функцию мы изучали в 7-м классе).

– Назовите числовой коэффициент функции у = х 2 . (Он равен 1)

– В каких координатных четвертях лежит график функции у = х 2 , какова область определения и область значений этой функции, промежутки возрастания и убывания? (График функции у = х 2 лежит в 1 и 2 координатных четвертях или в верхней полуплоскости, область определения – вся числовая прямая, область значений – функция у = х 2 принимает неотрицательные значения; возрастает при х > 0, убывает при х< 0.)

– Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента.

– Сформулируйте тему урока. (Функция у = кх 2 , ее свойства и график).

1) На доске приготовлена таблица. Найдите соответствующие значения функций:


у = 2х 2
у = 4х 2
у = – 2х 2
у = – 4х 2

– Заполните таблицу. К доске вызываются последовательно 4 ученика.

2) График функции у = кх 2 проходит через точку А(2;8). Определите значение коэффициента. Запишите функцию. (к = 2, у = 2х 2 ).

3) По какому плану вы обычно строите графики функций? Слайд 7.

(Необходимо –
1. Заполнить таблицу значений
2. Построить точки на координатной плоскости
3. Соединить построенные точки плавной линией
4. Подписать название функции.)

– Что вы повторили?

– А теперь, используя всё, что вы только что повторили и узнали, предлагаю вам выполнить следующее задание:
Постройте графики функций у = 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод как расположен график в зависимости от коэффициента к.

Учащиеся работают на миллиметровой бумаге.

– У кого нет результата?
– Что вы не смогли сделать? (Я не смог__________________)
– Покажите результаты, кто выполнил построение.
– Как вы можете доказать, что правильно выполнили задание? (Я должен___________)
– Что вы будете использовать для доказательства? (____________.)
– Что вы не смогли сделать?
– Каким правилом вы пользовались при построении?
– Что вы не можете сделать?

3. Выявление причин затруднения

Цели:

организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);
на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых недостает для решения исходной задачи.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Какое задание вы должны были выполнить?
– Что вы использовали при выполнении задания?
– В каком месте возникло затруднение?
– В чём причина затруднения? (У нас нет способа определения как расположен график функции у = кх2 в зависимости от коэффициент к.)

4. Проблемное объяснение нового знания

Цели:

организовать постановку цели урока;
организовать уточнение и согласование темы урока;
организовать подводящий или побуждающий диалог по проблемному введению нового знания;
организовать использование предметных действий с моделями, схемами, свойствами и пр.;
организовать фиксацию нового способа действия в речи;
организовать фиксацию нового способа действия в знаках;
соотнесение нового знания с правилом в учебнике, справочнике, словаре и т.д.
организовать фиксацию преодоления затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 4:

– Сформулируйте цель своей деятельности. (Найти способ определения как расположен график функции у = кх 2 в зависимости от коэффициента к.)

– Уточните тему урока. (Функция у = кх 2 ,ее свойства и график). Слайд 6.

– А сейчас вы будете работать в группах: Слайд 8.

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

Каждой группе даётся карточка. (При возникновении затруднений учащиеся могут воспользоваться учебником или справочником.)

– Представьте свой вариант алгоритма.

Каждая из групп представляет свой вариант, остальные дополняют, уточняют. После согласования на доску вывешивается правило:

Учитель добавляет:

– Каждую из построенных вами линий называют параболой. При этом точку (0;0) называют вершиной параболы, а ось у – осью симметрии параболы.
От величины коэффициента к зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх (вниз), «степень крутизны» параболы.
– Что вы сейчас открыли?
– Что теперь вы должны сделать?

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель: организовать усвоение детьми нового способа действий с их проговариванием во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

– В каких координатных четвертях расположены графики функций у = 1/5х 2 , у = х 2 /2, у = – х 2 /2, у = 3х 2 ?

Задание выполняется в парах, одна пара работает у доски.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

Цели:

организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;
по результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок;
по результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Для самостоятельной работы предлагается задание на карточке. Слайд 9.

На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

После выполнения работы учащиеся проверяют её по образцу: Слайд 10.

– Какие правила вы использовали при выполнении задания?
– У кого возникло затруднение – как определить знак коэффициента к?
– У кого возникло затруднение при определении значения коэффициента к?
– Кто задание выполнил правильно?

7. Включение в систему знаний и повторение

Цели:

тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным материалом;
повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках:

Организация учебного процесса на этапе 7:

Задание из ГИА-9 выполняется у доски. Слайды 11-16.

– Определите термин, который повторялся много раз сегодня на уроке.(график)

1. Графиком какой из данных функций является парабола, расположенная в нижней полуплоскости?

3. Найти область значений функции у = – 5х2

а) у = –15х 2
б) у = – 9х 2
в) у = – х 2
г) у = – 5х 2 ц
э
ф
ж

5. Укажите промежутки возрастания функции у = – 5х 2

а) при х > 0
б) при х < 0
в) при х < 0
г) при х > 0 ч
о
и
т

6. Укажите наименьшее значение функции у = – 5х 2

а) 0
б) не существует
в) – 5
г) 5 ы
к
д
в.

Задачи по физике: Слайд 17.

Путь, пройденный телом за первые t секунд свободного падения, вычисляется по формуле: H = gt 2 /2, где g = 9,8 м/c 2 . Найдите по графику зависимости H от t :

А) расстояние, которое пролетит падающий камень за первые 6 секунд;
Б) время, за которое камень пролетит первые 250 м?

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цели:

организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
организовать вербальную фиксацию шагов по достижению цели;
по результатам анализа работы на уроке организовать фиксацию направлений будущей деятельности;
организовать проведение самооценки учениками работы на уроке;
организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Чему вы сегодня учились?
– Что нового вы узнали на уроке?
– Какие цели ставили перед собой?
– Вы достигли поставленных целей?
– Что вам помогало справиться с затруднениями?
– Проанализируйте свою работу на уроке.

Учащиеся работают с карточками рефлексии (Р).

Домашнее задание: Слайд 18.