Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}Также и в n -мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.
Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 + . . . {\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+...}- Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример - см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".
Другие формы уравнения Лапласа
1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ (sin θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}
Особые точки r = 0 , θ = 0 , θ = π {\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi } .
1 r ∂ ∂ r (r ∂ u ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0}Особая точка .
1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}Особая точка r = 0 {\displaystyle r=0} .
Применение уравнения Лапласа
Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера .
Решения уравнения Лапласа
Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.
Общее решение
Одномерное пространство
f (x) = C 1 x + C 2 {\displaystyle f(x)=C_{1}x+C_{2}}где C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} - произвольные постоянные.
Двумерное пространство
Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.
Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде
φ x x + φ y y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.}Аналитические функции
Если z = x + iy , и
f (z) = u (x , y) + i v (x , y) , {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}то условия Коши - Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f (z ) была аналитической:
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},~{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2010, том 48, № 2, с. 193-197
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
УДК 532.6:004.932
УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЛЕЖАЩЕЙ КАПЛИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
© 2010 г. Л. Б. Директор, В. М. Зайченко, И. Л. Майков
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Поступила в редакцию 25.05.2009 г.
Разработана усовершенствованная методика обработки изображений меридионального сечения капли жидкости, полученных при реализации метода лежащей капли для определения поверхностного натяжения жидкости. Методика обеспечивает сканирование цифрового изображения капли, численное решение уравнения Юнга-Лапласа, а также расчет поверхностного натяжения, краевого угла смачивания и объема капли.
ВВЕДЕНИЕ
Метод лежащей (висящей) или неподвижной капли считается наиболее надежным статическим методом для изучения поверхностного натяжения металлических расплавов, солевых, полимерных и других жидкостей .
Статические методы основаны на решении дифференциального уравнения Юнга-Лапласа. Приближенные решения этого уравнения получены многими авторами, и наиболее распространенный способ определения коэффициента поверхностного натяжения основан на использовании таблиц Башфорта и Адамса . Существующие эмпирические зависимости по своей сути являются аппроксимацией этих таблиц. Недостатками таких методов являются невысокая точность, а также ограничения, связанные с размерами капли. Геометрические параметры капли определяются путем обмера ее фотографического изображения с помощью измерительного микроскопа. Процесс обмера достаточно трудоемок, а его результаты содержат погрешность, связанную с индивидуальными особенностями наблюдателя.
Целью настоящей работы является создание быстродействующего программного комплекса, позволяющего обрабатывать цифровое изображение капли и проводить оптимизационную процедуру для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости с использованием как метода лежащей, так и метода отрыва капли (висящей капли). В основе методики лежит идеология численного интегрирования уравнения Юнга-Лапласа, представленная в работе .
МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАПЛИ
Исходная информация представляет собой графический файл в стандартном точечном фор-
мате BitMaP (BMP), который содержит изображение меридионального сечения капли. Изображение имеет черно-белую палитру с градацией серого цвета от белого до черного (в шестнадцате-ричном представлении от 000000 до FFFFFF) в RGB-цвете (рис. 1).
Определение точной границы изображения представляет собой отдельную задачу. Имеются достаточно сложные алгоритмы, основанные на методе функции уровня (level set function) и требующие решения уравнений гиперболического типа в частных производных. В настоящей работе для упрощения численных расчетов используется простой алгоритм, описанный ниже, и оценивается его точность.
На первом этапе обработки серое изображение переводится в черно-белое монохромное следующим образом. Выбирается среднее значение цвета из палитры цветов (в шестнадцатеричном представлении это соответствует цвету 888888). Дальнейший процесс обработки заключается в
Рис. 1. Изображение капли на подложке (формат ВМР).
сканировании изображения по каждому пикселю. Все пиксели со значением цвета меньше граничного изменяют свое значение на белый цвет, больше граничного - на черный, в результате чего определяется граница белого и черного цветов и, соответственно, координаты точек контура изображения (рис. 2).
Выбор граничного цвета при переводе изображения из серого в монохромное вносит определенную ошибку в результат, что иллюстрирует кривая зависимости относительного объема эталона (калиброванного стального шарика) от выбора граничного цвета (рис. 3).
При выборе пятой части полной палитры (цвета палитры от 666666 до ЛЛЛЛЛА в шестнадцате-ричном представлении соответствуют цветам от 1 до 4 на рис. 3) относительная погрешность определения объема составляет 0.2%. Цвету палитры 888888 (середина полной палитры) соответствует значение 3 по оси абсцисс и относительный объем, равный 1.
Относительный объем 1.0010
Граница разделения цвета
Рис. 3. Зависимость относительного объема эталона от выбора граничного цвета.
ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАПЛИ
Форма капли, лежащей на подложке (рис. 4), удовлетворяет уравнению Юнга-Лапласа
(l + У "2)3/2 У (1 + У
Капиллярная постоянная; ст - ко-
эффициент поверхностного натяжения; Н - высота капли; [х, у(х)] - координаты границы меридионального сечения капли (см. рис. 4); Я0 - радиус кривизны в верхней точке капли; Ар - разность плотностей жидкости и окружающего газа.
Для численного решения уравнения (1) проведем его параметризацию х = х(1),
Здесь I - длина дуги кривой от вершины капли до точки с координатами х(1), у(1). Тогда уравнение Юнга-Лапласа в параметрической форме запишется в виде
v a y Ro н - x + x + _2_
A y Roy с начальными условиями x(0) = H, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = -1.
Рис. 4. Меридиональное сечение лежащей капли.
усовершенствованный метод лежащей капли
Система двух дифференциальных уравнений второго порядка (2) представима в виде системы четырех уравнений первого порядка
и = -v + ä + 2
" H - x , ü , 2 v = ü |-2--1---1--
с начальными условиями x(0) = H, y(0) = 0,
и (0) = 0, v (0) = -1.
Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3) использовался численный метод решения жестких дифференциальных уравнений - линейный многошаговый метод с автоматическим выбором шага, реализованный в алгоритме DIFSUB .
При обработке данных, полученных в методе лежащей капли (отрыва капли), решается обратная задача определения капиллярной постоянной а2, высоты капли Hи ее радиуса кривизны R с использованием зависимости радиуса окружности горизонтального сечения капли от расстояния этого сечения до подложки.
Рассмотрим функционал, представляющий сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от расчетной кривой
L = К - X;)2 + (Уе1 - У,)2),
где (хе, уе) - координаты экспериментальных точек, (х, у) - координаты расчетных точек.
Расчетные точки (х;, у() являются функциями параметров а1= а2, а2 = Н, а3= Я0:
xi - xi(t, a1 a2, a3),
yt - y,(h, ai, a2, a3). Разложим (5) в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки (a1, a2, a3)
xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,
yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay
Для нахождения минимума функционала (4) должны выполняться условия
Подставив (4) в (6) и продифференцировав, систему уравнений (7) можно записать в виде
Xei - xi - dx- Aai - dx- Aa2 - dx- Aa3)) +
+ | yei - у, -дУ Aai -f* Aa2 -f* Aa3))
öa1 öa2 öa3 jda1_
xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +
yei- y, -йУ. Да, - Дa1 - & Дaз -
da1 da2 da3)da2j
dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi --LД^ --LДa2 --LДaз - +
yei- yt -dR Дa1 -M Дa2 -^У- Дa3 -
dxt dxt + dyt dyt =1 dak da, dak da,
I| (xei-xi)f + (yei - у, fi|, V da, da, 1
I I dxL dx± + dy_ dyj_
t dak da, dak da,
k = 1| i = 1 k 2 k 2.
I| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,
I I dxj_ dxi + dy_ dy_
Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3 У
I| (xei- x, + (yei - У,)f
Для решения системы уравнений (8) необхо-
димо вычислить частные производные вида
(6) , Где I = 1-^, к = 1-3. Так как аналитические
зависимости (4) от параметров а1 неизвестны, частные производные определяются численно.
Новые значения ак (где к = 1-3) рассчитываются через найденные значения Аак по формуле
0 0 , . ak = ak + Aak
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
Для численного решения системы уравнений (8) разработан следующий алгоритм.
ДИРЕКТОР и др.
Рис. 5. Форма капли воды в методе лежащей капли: 1 - опытные точки; 2 - расчет с использованием оптимизационной процедуры.
1. Задание начального приближения (a0, a0, a0) в предположении, что форма капли приближенно описывается эллипсом с полуосями, равными высоте капли и максимальному радиусу окружности горизонтального сечения.
2. Задание малых отклонений (Aab Aa2, Aa3).
3. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных значениях (a0, a0, a0). Получение 1-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xn и уп с использованием алгоритма вычисления параметров кубической сплайн-функции SPLINE .
4. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных значениях (a0 + Aa1, a0, a0). Получение 2-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi2 и yi2 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 2-го решений
дх1 = Xg - хп dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1
5. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных (a0, a0 +
Aa2, a0). Получение 3-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi3 и yi3 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 3-го решений
дX = Xз - х/1 ? д!± = Уа - У/1. da2 Aa2 da2 Aa2
6. Решение системы уравнений (3) с использо-
a3 + Aa3). Получение 4-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi4 и yi4 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 4-го решений
дХ/ = X/4 - Xj 1 dyl = У/4 - У/1.
7. Вычисление коэффициентов системы (8) и ее решение с использованием алгоритма решения системы линейных уравнений SOLVE . Получение (Aab Aa2, Aa3).
8. Вычисление новых значений параметров по формуле (9)
ванием алгоритма DIFSUB
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст
КАШЕЖЕВ А. З., КУТУЕВ Р. А., ПОНЕЖЕВ М. Х., СОЗАЕВ В. А., ХАСАНОВ А. И. - 2012 г.
ПОНОМАРЕВА М.А., ЯКУТЕНОК В.А. - 2011 г.
В методе лежащей капли жидкость с известным поверхностным натяжением помещается на твердую поверхность с помощью шприца. Диаметр капли должен быть от 2 до 5 мм; это гарантирует, что краевой угол не будет зависеть от диаметра. В случае очень малых капелек будет велико влияние поверхностного натяжения самой жидкости (будут формироваться сферические капли), а в случае больших капель начинают доминировать силы гравитации.
В методе лежащей капли измеряется угол между твердой поверхностью и жидкостью в точке контакта трех фаз. Соотношение сил межфазного и поверхностного натяжения в точке контакта трех фаз может описываться уравнением Юнга, на базе которого можно определить краевой угол:
Частным случаем является метод "плененного пузырька": краевой угол измеряется под поверхностью в жидкости.
Изначально измерения проводились с помощью гониометра (ручного прибора для измерения контактного угла) или микроскопа. Современные технологии позволяют записать изображение капли и получить все необходимые данные с помощью программ .
Статический краевой угол
При статическом методе размер капли не меняется в течение всего измерения, но это не означает, что угол контакта всегда остается постоянным. Наоборот, воздействие внешних факторов может привести к изменению угла контакта со временем. Из-за седиментации, испарения и аналогичных химических или физических взаимодействий краевой угол будет самопроизвольно изменяться со временем.
С одной стороны, статический краевой угол не может абсолютно оценить свободную энергию твердой поверхности , а с другой, он позволяет охарактеризовать временную зависимость таких процессов как высыхание чернил, нанесение клея, абсорбцию и адсорбцию жидкостей на бумаге.
Изменение свойств во времени (растекание капли) зачастую мешают исследованиям. В качестве источника ошибки также может выступить пятнышко, царапина на образце, любая неоднородная поверхность будет иметь отрицательный эффект в точности измерения, что может быть сведено к минимуму в динамических методах.
Динамический краевой угол
При измерении динамического контактного угла игла шприца остается в капле, и ее объем изменяется с постоянной скоростью. Динамический угол контакта описывает процессы на границе твердое тело/жидкость во время увеличения объема капли (натекающий угол) или при уменьшении капли (оттекающий угол), т.е. во время смачивания и осушения. Граница не образуется мгновенно, для достижения динамического равновесия требуется время. Из практики рекомендуется устанавливать поток жидкости 5 - 15 мл/мин, более высокая скорость потока будет только имитировать динамические методы. Для высоковязких жидкостей (например, глицерина), скорость формирования капли будет иметь другие пределы.
Натекающий угол.
Во время измерения натекающего угла игла шприца остается в капле на протяжении всего опыта. Сначала на поверхности образуется капелька диаметром 3-5 мм (при диаметре иглы 0,5 мм, которая используется фирмой KRUSS), а потом она расплывается по поверхности.
В начальный момент угол контакта не зависит от размера капли, т.к. сильны силы сцепления с иглой. При определенном размере капли угол контакта становится постоянным, и именно в этот момент надо проводить измерения.
Этот тип измерения имеет наибольшую воспроизводимость. Натекающие углы обычно измеряют для определения свободной энергии поверхности .
Оттекающий угол.
Во время измерения оттекающего угла размер капли уменьшается, т.к. поверхность осушается: большая капля (приблизительно 6 мм в диаметре) помещается на поверхность и затем медленно уменьшается за счет всасывания через иглу.
По разнице между натекающим углом и оттекающим углом можно сделать заключение о неровностях поверхности или ее химической неоднородности. Оттекающий угол НЕ подходит для расчета СЭП.
Методы оценки формы лежащей капли
Метод Юнга-Лапласа. Наиболее трудоемкий, но и наиболее точный метод расчета краевого угла. В этом методе при построении контура капли учитываются поправки на то, что не только межфазные взаимодействия разрушают форму капли, но и собственный вес жидкости. Эта модель предполагает, что форма капли симметрична, поэтому она не может использоваться для динамических краевых углов. Для натекающей капли краевой угол также может быть определен только до 30°.
Метод длины-ширины. В этом методе оценивается длина растекания капли и ее высота. Контур, являющийся частью окружности, вписывают в прямоугольник и рассчитывают краевой угол из соотношения ширины и высоты. Данный метод более точен для мелких капель, формы которых ближе к сфере. Не подходит для динамического краевого угла, т.к. игла остается в капле и нельзя точно определить высоту капли.
Метод круга. В этом методе капля представляется как часть круга, как и в методе длины-ширины, однако краевой угол рассчитывается не с помощью прямоугольника, а с помощью сегмента окружности. Но в отличии от метода длины-ширины игла, оставшаяся в капле, меньше влияет на результаты измерения.
Тангенциальный метод 1. Полный контур лежащей капли подгоняется к уравнению конического сегмента. Производная этого уравнения в точке пересечения контура и базовой линии дает угол наклона в точке контакта, т.е. краевой угол. Этот метод может использоваться с динамическими методами оценки в том случае, если капля не сильно разрушается иглой.
Тангенциальный метод 2. Часть контура лежащей капли, расположенной рядом с базовой линией, адаптирована к функции полинома типа y=a + bx + cx 0,5 + d/lnx + e/x 2 . Эта функция получилась в результате многочисленных математических моделирований. Метод считается точным, но чувствительным к загрязнениям и посторонним веществам в жидкости. Подходит для определения динамических краевых углов, но он требует четкого построения изображений, особенно в точке контакта фаз.
Метод лежащей капли (sessile drop) реализован в приборах для измерения краевого угла DSA , которые широко используются в лабораториях для изучения свойств поверхностей. Данные приборы также позволяют измерить поверхностное и межфазное натяжение жидкостей
ВЫДЕЛЕНИЕ КОНТУРА КАПЛИ ЖИДКОСТИ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
Мизотин М.М. 1 , Крылов А.С. 1 , Проценко П.В. 2
1 МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК
2 МГУ имени М.В. Ломоносова, Химический факультет
Введение
Поверхностное натяжение является одним из важнейших свойств жидкости, и его точное измерение является необходимым для изучения различных явлений и разработки технологических процессов. Существует целый ряд способов измерения поверхностного натяжения, однако среди всех них можно выделить метод лежащей или висящей капли. Основные достоинства метода заключаются в очень широкой области применения – от легких текучих жидкостей до жидких металлов, и относительная простота экспериментальной установки по сравнению с другими методами. Причем, в связи с развитием цифровой вычислительной и фототехники стало возможным производить анализ практически мгновенно.
Суть метода состоит в следующем: капля помещается на горизонтальную подложку (метод лежащей капли) или подвешивается на капиллярной трубке (метод висящей капли) и затем изучается ее фотография в профиль. Измерение геометрических параметров равновесной капли, форма которой определяется соотношением плотности и поверхностного натяжения жидкости, позволяет восстановить искомое поверхностное натяжение. Схема установки представлена на Рис. 1.
Рис. 1. 1 – источник света (лампа или зеркало микроскопа), 2 – капля на подложке,
3 – микроскоп с цифровой камерой.
Несмотря на достаточно хорошо разработанную экспериментальную методику, до сих пор требуется специальная дорогостоящая установка для съемки капли. В данной работе предложен алгоритм для экспериментальной установки из широкодоступных компонентов. Недостатки установки по сравнению с лабораторным оборудованием компенсируются предложенными методами обработки изображений.
Метод лежащей капли
Основное уравнение метода лежащей капли – уравнение Юнга-Лапласа, описывает поверхность капли с симметрией вращения на горизонтальной подложке. Для решения этой задачи была предложена эффективная методика , впоследствии улучшенная и дополненная .
Данная методика основана на численном дифференцировании уравнения Юнга-Лапласа. Для того, чтобы продифференцировать уравнение Юнга-Лапласа вводится параметризация кривой
, где t
– длина дуги кривой от вершины капли (Рис. 2).
Рис. 2. Параметризация контура капли.
Эта параметризация удовлетворяет условию
, и приводит к системе уравнений
(1)
с начальными условиями
,
,
,
и дополнительным условием
. В разработанном программном пакете, задача Коши (1) решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Для восстановления параметров лежащей капли необходимо решить обратную задачу определения капиллярной постоянной
, координат апекса капли
и ее радиуса кривизны по функции радиуса горизонтального сечения капли от высоты над подложкой. Эта функция измерена с ошибкой и, в ряде случаев, доступны измерения только части контура капли. При решении данной обратной задачи минимизируется ошибка (2)
между экспериментальными точками
и кривой , полученной в результате численного решения задачи (2). Разность между экспериментальными точками и кривой определяется как корень из суммы квадратов расстояний от каждой экспериментальной точки до кривой.
В связи с этим возникает следующая задача обработки изображений: автоматическое получение контура капли , что осложняется наличием пыли и мусора на снимках (что связано с применением обычной камеры в «бытовых» условиях), а также переменными условиями освещения.
Функция ошибки
Одной из основных частей метода является вычисление функции ошибки (2). Вычисление расстояния между точкой и кривой (3)
в данном случае очень трудоемко, так как нам неизвестны, и их также необходимо находить численно методом одномерного поиска.
Для эффективного вычисления функции ошибки предлагается следующий алгоритм. Во-первых, необходимо все экспериментальные точки отсортировать так, чтобы с возрастанием номера точки i
соответствующий ей параметр также увеличивался. Тогда при поиске параметра для каждой следующей точки можно воспользоваться в качестве начального приближения значением параметра , а для первой точки начальным приближением будет
. Подробнее о составлении контура капли см. далее.
Во-вторых, вычисление функции ошибки можно проводить непосредственно в процессе интегрирования системы (1) с помощью метода Рунге-Кутты. В самом деле, на каждой итерации нам доступны значения , и наименьшее расстояние от точки может быть найдено с помощью решения уравнения (4)
методом Ньютона. То есть, при численном интегрировании системы (1) нужно следить за значением функции (4) для каждой следующей точки, и запоминать значения наименьших ошибок, при необходимости уменьшая шаг по для увеличения точности результатов.
Выделение контура капли
Как было сказано выше, для эффективного расчета ошибки по формуле (4), необходимо выделить из изображения контур капли таким образом, чтобы с возрастанием номера точки i соответствующий ей параметр также увеличивался. Данная операция проводится в 2 этапа: непосредственное выделение краев с помощью детектора Канни (Canny) и выделение из полученной бинарной карты краев связанных последовательных наборов точек.
Для отслеживания краев был разработан следующий алгоритм. Во-первых, необходимо провести операцию утончения краев (edge thinning), поскольку детектор Канни не гарантирует, что все полученные края будут толщиной в 1 пиксель (в основном, такая ситуация возникает в местах соединения), а такое условие необходимо для дальнейшей обработки. Операция утончения краев может быть проведена с использованием одного из известных методов утончения краев . В данной работе использовался алгоритм .
Дальнейшая обработка строится на анализе окрестности 3x3 пикселя вокруг рассматриваемого пикселя. На рис. 3 значения пикселей в окрестности представлены переменными , принимающими значение 0 или 1.
Рис. 3.
Окрестность 3x3 вокруг рассматриваемого пикселя ,
.
Общая схема алгоритма выделения связных последовательностей точек:
Если
и
, то в центральном пикселе находится пересечение контуров.
Если
и , то в центральном пикселе находится конец контура.
При этом, проверка этих условий может быть быстро и эффективно произведена с помощью таблиц поиска, так как всего возможных входных значений 512 = 2 9 .
Начать с одного из найденных концов контуров.
Добавить текущий пиксель в список пикселей контура под текущим номером и пометить на карте краев текущий пиксель номером текущего контура.
Найти среди соседей текущего пикселя пиксель со значением 1.
Если найденный сосед не является концом контура или пересечением и не помечен на карте краев еще ни одним номером, то передвинуть текущий пиксель в позицию найденного соседа и перейти к шагу 3. Иначе, закончить заполнение текущего контура и перейти к следующему (шаг 2).
Заключение
Экспериментальные исследования системы парафиновое масло / декан в различных концентрациях с помощью предложенного алгоритма показали эффективность предложенного подхода.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.
Литература
Maze C., Burnet G . A Non-linear Regression Method for Calculating the Surface Tension and Contact Angle from the Shape of a Sessile Drop // Surf. Sci . 1969. V. 13. P. 451.
Krylov A. S., Vvede nsky A. V., Katsnelson A. M., Tugovikov A. E . Software package for determination of surface tension of liquid metals // J. Non-Cryst. Solids . 1993. V. 156-158. P. 845.
O. I. del Río and A. W. Neumann. Axisymmetric Drop Shape Analysis: Computational Methods for the Measurement of Interfacial Properties from the Shape and Dimensions of Pendant and Sessile Drops // Journal of Colloid and Interface Science , Volume 196, Issue 2, 15 December 1997, Pages 136-147.
M. Hoorfar and A. W. Neumann. Recent progress in Axisymmetric Drop Shape Analysis // Advances in Colloid and Interface Science , Volume 121, Issues 1-3, 13 September 2006, Pages 25-49.
Canny, J., A Computational Approach To Edge Detection // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence , 8(6):679–698, 1986
Lam L., Lee S.-W., Suen C.Y. Thinning Methodologies - A Comprehensive Survey // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence archive , Volume 14 Issue 9, September 1992.
Z. Guo and R. W. Hall , «Parallel thinning with two-subiteration algorithms», Comm. ACM, vol. 32, no. 3, pp. 359-373, 1989.
DROPLET EDGE DETECTION FOR SURFACE TENSION DETERMINATION
Mizotin M. 1 , Krylov A. 1 , Protsenko P. 2
1 Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Laboratory of Mathematical Methods of Image Processing,
2 Lomonosov Moscow State University, Department of Chemistry
Surface tension is one of the key propertied of liquid, thus its measurement is crucial for studying various phenomena such as wetting and development of technological processes. There sessile and pendant drop techniques are one of the most frequently used because of their universality and simplicity of measurement process.
The method is based on studying of the axisymmetric drop profile. The balance of gravity force and surface tension forms the distinct profile shape, thus surface tension can be calculated by the solution of the inverse problem for the Young-Laplace equation.
In this work the method of droplet contour extraction for determination of the surface tension is presented. The key difference of the proposed method is its orientation on inexpensive experimental setup using widely available components such as standard microscope, digital camera and substrate holder. Proposed techniques of image processing allow to avoid most of the problems concerning inferior quality of the drop images acquired by inexpensive setup retaining the measurement accuracy.
The work was supported by federal target program ”Scientific and scientific-pedagogical personnel of innovative Russia in 2009-2013”.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОРФОЛОГИЧЕСКИХ АМЁБ ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ
С
ОСУДОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ГЛАЗНОГО ДНА
Насонов А.В. 1 , Черноморец А.А. 1 , Крылов А.С. 1 , Родин А.С. 2
МГУ имени М.В. Ломоносова,
1 факультет вычислительной математики и кибернетики, лаборатория математических методов обработки изображений /
2 факультет фундаментальной медицины, кафедра офтальмологии
В работе разработан алгоритм выделения сосудов на изображениях глазного дна, основанный на использовании метода морфологических амёб. Рассмотрено применение алгоритма к задаче продолжения сосудов от множества точек, заведомо являющихся точками сосудов.
1. Введение
Фотографии глазного дна используются для диагностики заболеваний сетчатки. Сегментация и оценивание характерных величин сосудов кровеносной системы сетчатки представляют важнейший интерес при диагностировании и лечении многих заболеваний глаз.
Выделение сосудов на изображениях сетчатки является достаточно сложной задачей обработки изображений из-за высокого уровня шума, неравномерной освещённости, присутствия объектов, похожих на сосуды. Среди методов обнаружения сосудов на изображения глазного дна можно выделить следующие классы :
Класс методов, использующих свёртку изображений с двумерным направленным фильтром и последующее нахождение пиков откликов. В для сегментации сосудистой сети предложен двумерный линейный фильтр, профилем которого является гауссиан. Преимуществом данного подхода является устойчивое нахождение прямолинейных участков сосудов и вычисление их ширины. Однако метод плохо детектирует тонкие и извилистые сосуды, возможны ложные срабатывания на объекты, не являющимися сосудами, например на экссудаты.
Методы, использующие детектирование хребтов. В производится нахождение примитивов - коротких отрезков, лежащих посередине линий, затем с помощью методов машинного обучения отбираются примитивы, соответствующие сосудам, по которым восстанавливается сосудистое дерево.
Методы, использующие трекинг сосудов, включающий в себя как соединение сосудов по паре точек, так и продолжение сосудов . К преимуществам данного подхода можно отнести высокую точность работы на тонких сосудах и восстановление разрывных сосудов. Недостатком является сложность обработки ветвлений и пересечений сосудов.
Попиксельная классификация, основанная на применении методов машинного обучения . Здесь для каждого пикселя строится вектор признаков, на основе которого определяется, является ли пиксель частью сосуда или нет. Для обучения метода используются изображения глазного дна с размеченными на нём экспертом сосудами. К недостаткам метода можно отнести большое расхождение в мнениях экспертов.
В данной работе для выделения сосудов используется метод морфологических амёб - морфологический метод, при котором структурный элемент выбирается адаптивно для каждого пикселя.
2. Морфологические амёбы
Мы используем метод морфологических амёб, описанный в , с модифицированной функцией расстояния.
Рассмотрим изображение в градациях серого
. Представим его в виде графа, в котором каждый пиксель соединён с восемью соседними пикселям рёбрами с некоторым заданными весами («стоимостью»). Тогда для каждого пикселя
можно найти множество всех точек
, для которых стоимость пути из в
не превышает t
. Полученное множество и будет являться структурным элементом для пикселя .
Мы используем следующую функцию расстояния между пикселями и
:
Сомножитель
задаёт низкую стоимость перемещения по тёмным участкам и высокую - по светлым, тем самым не давая амёбе распространяться по точкам вне сосуда, а слагаемое штрафует перемещение между пикселями с сильно различающейся интенсивностью. Параметр задаёт значимость штрафа при данном переходе.
Пример нахождения амёб при
приведён на рис. 1.
Рис. 1. Примеры форм морфологических амеб. Слева - исходное изображение с помеченными точками, в которых вычисляются амёбы, справа - белым помечены найдённые структурные элементы.
3. Выделение сосудов с помощью морфологических амёб
Для прослеживания сосудов кровеносной системы на изображениях глазного дна был разработан алгоритм, состоящий из следующих этапов:
4. Результаты
Пример работы алгоритма приведён на рис. 2.
Рис. 2. Результат выделения сосудов при помощи морфологических амеб. Слева - изображение глазного дна (зелёный канал), по центру - точки, заведомо являющиеся точками сосудов, от которых будут строиться амёбы, справа - результат выделения сосудов с помощью предложенного метода.
Заключение
Рассмотрено применение метода морфологических амёб для выделения сосудов на изображениях глазного дна.
Разработанный алгоритм планируется использовать в автоматизированной системе обнаружения заболеваний сетчатки.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы и гранта РФФИ 10-01-00535-а.
Литература
S.Chaudhuri, S.Chatterjee, N.Katz, M.Nelson, M.Goldbaum. Detection of Blood Vessels in Retinal Images Using Two-Dimensional Matched Filters // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8, No. 3, 1989, pp. 263–269.
J.Staal, M.D.Abramoff, M. Niemeijer, M.A.Viergever, B.Ginneken. Ridge-Based Vessel Segmentation in Color Images of the Retina // IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 23, No. 4, 2004, pp. 504–509.
M.Patasius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukosevieius. Recursive Algorithm for Blood Vessel Detection in Eye Fundus Images: Preliminary Results // IFMBE Proceedings, Vol. 25/11, 2009, pp. 212–215.
J.Soares, J.Leandro, R.Cesar Jr., H.Jelinek, M.Cree. Retinal Vessel Segmentation Using the 2-D Gabor Wavelet and Supervised Classification // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25, No. 9, 2006, pp. 1214–1222.
APPLICATION OF MORPHOLOGICAL AMOEAS METHOD FOR BLOOD VESSEL DETECTION IN EYE FUNDUS IMAGES
Nasonov A. 1 , Chernomorets A. 1 , Krylov A. 1 , Rodin A. 2
Lomonosov Moscow State University,
1 Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Laboratory of Mathematical Methods of Image Processing, /
2 Faculty of Fundamental Medicine, Department of Ophthalmology
An algorithm of blood vessels detection in eye fundus images has been developed. Segmentation and analysis of blood vessels in eye fundus images provides the most important information to diagnose retinal diseases.
Blood vessels detection in eye fundus images is a challenging problem . Images are corrupted by non-uniform illumination and noise. Also some objects can be wrongly detected as blood vessels.
The proposed algorithm is based on the method of morphological amoebas . Morphological amoeba for a given pixel is a set of pixels with the minimal distance to the given pixel less than a threshold t . We use the sum of average intensity value multiplied by Euclidean distance and absolute value of difference between pixel intensity values for the distance. In this case the distance will be small for blood vessels which are usually dark and big for light areas and edges, and the amoeba will be extended along the vessel but not through vessel walls.
The proposed algorithm of blood vessel detection consists of the following steps:
Extract the green channel as the most informative and perform illumination correction using the method . It makes possible to use unified amoebas parameters for different images.
Find the set of pixels {p n } in the obtained image which are surely the pixels of the blood vessels
Calculate the amoeba А (p i ) for every pixel , apply rank filtering to the amoeba mask with 3x3 window: remove the pixels from the mask which have less than 3 neighbor pixels in the mask. The remaining pixels are marked as blood vessels pixels.
If we need to extend the blood vessels, the third step is repeated for all newly added pixels to blood vessels area.
We plan to use the developed algorithm in automatic system of retinal disease detection.
The work was supported by federal target program ”Scientific and scientific-pedagogical personnel of innovative Russia in 2009-2013” and RFBR grant 10-01-00535-а.
Literature
R.J.Winder, P.J.Morrow, I.N.McRitchie, J.R.Bailie, P.M.Hart. Algorithms for digital image processing in diabetic retinopathy // Computerized Medical Imaging and Graphics, Vol. 33, 2009, 608–622.
M.Welk, M.Breub, O.Vogel. Differential Equations for Morphological Amoebas // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 5720/2009, 2009, pp. 104–114.
G.D.Joshi, J.Sivaswamy. Colour Retinal Image Enhancement based on Domain Knowledge // Sixth Indian Conference on Computer Vision, Graphics and Image Processing (ICVGIP"08), 2008, pp. 591–598.
изображения Using Tomography method in handwritten ... наличии импульсного шума, характерного при
В 1804 г. Томас Юнг обосновал теорию капиллярных явлений на принципе поверхностного натяжения. Он также наблюдал постоянство угла смачивания жидкостью поверхности твердого тела (краевого угла) и нашел количественное соотношение, связывающее краевой угол с коэффициентами поверхностного натяжения соответствующих межфазных границ. В равновесии контактная линия не должна двигаться по поверхности твердого тела, а значит, говорил
Где s SV , s SL , s LV - коэффициенты поверхностного натяжения межфазных границ твердое тело – газ (пар), твердое тело – жидкость, жидкость – газ соответственно, q - краевой угол. Это соотношение теперь известно как формула Юнга. Эта работа все же не оказала такого влияния на развитие науки в этом направлении, какое оказала вышедшая несколькими месяцами позже статья Лапласа (Pierre Simon Laplace). Это, по-видимому, связано с тем, что Юнг избегал использования математических обозначений, а пытался описывать все словесно, отчего его работа кажется запутанной и неясной. Тем не менее он считается сегодня одним из основателей количественной теории капиллярности.
Явления когезии и адгезии, конденсация пара в жидкость, смачивание твердых тел жидкостями и многие другие простые свойства вещества - все указывало на наличие сил притяжения, во много раз более сильных, чем гравитация, но действующих только на очень малых расстояниях между молекулами. Как говорил Лаплас, единственное вытекающее из наблюдаемых явлений условие, налагаемое на эти силы, состоит в том, что они «неощутимы на ощутимых расстояниях».
Силы отталкивания создавали больше хлопот. Их наличие нельзя было отрицать - они должны уравновешивать силы притяжения и препятствовать полному разрушению вещества, но их природа была совершенно неясной. Вопрос осложнялся двумя следующими ошибочными мнениями. Во-первых, часто считалось, что действующей силой отталкивания является тепло (как правило, мнение сторонников теории теплорода), поскольку (такова была аргументация) жидкость при нагревании сначала расширяется и затем кипит, так что молекулы разъединяются на гораздо большие расстояния, чем в твердом теле. Второе ошибочное мнение возникло из уводящего назад к Ньютону представления, согласно которому наблюдаемое давление газа происходит вследствие статического отталкивания между молекулами, а не из-за их столкновений со стенками сосуда, как тщетно доказывал Даниель Бернулли.
На этом фоне было естественно, что первые попытки объяснить капиллярность или вообще сцепление жидкостей основывались на статических аспектах вещества. Механика была хорошо понимаемой теоретической ветвью науки; термодинамика и кинетическая теория были еще в будущем. В механическом рассмотрении ключевым было предположение о больших, но короткодействующих силах притяжения. Покоящиеся жидкости (в капиллярной ли трубке или вне ее) находятся, очевидно, в равновесии, а потому эти силы притяжения должны уравновешиваться силами отталкивания. Поскольку о них можно было сказать еще меньше, чем о силах притяжения, их часто обходили молчанием, и, говоря словами Рэлея, «силам притяжения предоставлялось исполнять немыслимый трюк уравновешивания самих себя». Лаплас 2 первым удовлетворительно разрешил эту проблему , полагая, что силы отталкивания (тепловые, как он допускал) можно заменить внутренним давлением, которое действует повсеместно в несжимаемой жидкости. (Это предположение приводит временами к неопределенности в работах XIX в. в отношении того, что строго понимается под «давлением в жидкости».) Приведем расчет внутреннего давления по Лапласу. (Этот вывод ближе к выводам Максвелла и Рэлея . Вывод приводится по .)
Оно должно уравновешивать силы сцепления в жидкости, и Лаплас отождествлял это с силой на единицу площади, которая оказывает сопротивление разделению бесконечного жидкого тела на два далеко разъединяемых полубесконечных тела, ограниченных плоскими поверхностями. Приведенный ниже вывод ближе к выводам Максвелла и Рэлея, чем к оригинальной форме Лапласа, но существенного различия в аргументации нет.
Рассмотрим два полубесконечных тела жидкости со строго плоскими поверхностями, разделенные прослойкой (толщины l ) пара с пренебрежимо малой плотностью (рис. 1), и в каждом из них выделим элемент объема. Первый находится в верхнем теле на высоте r над плоской поверхностью нижнего тела; его объем равен dxdydz . Второй находится в нижнем теле и имеет объем , где начало полярных координат совпадает с положением первого элементарного объема. Пусть f (s ) - сила, действующая между двумя молекулами, разделенными расстоянием s , а d - радиус ее действия. Поскольку это всегда сила притяжения, имеем
Если - плотность числа молекул в обоих телах, то вертикальная составляющая силы взаимодействия двух элементов объема равна
Полная сила притяжения, приходящаяся на единицу площади (положительная величина), есть
(3)
Пусть u (s ) - потенциал межмолекулярной силы:
Интегрируя по частям еще раз, получаем
(6)
Внутреннее давление Лапласа K есть сила притяжения на единицу площади между двумя плоскими поверхностями при их контакте, т.е. F (0):
(7)
Где - элемент объема, который можно записать как
. Поскольку u
(r
) по предположению всюду отрицательно или равно нулю, то K
положительно. Лаплас полагал, что K
велико по сравнению с атмосферным давлением, но первую реалистическую численную оценку предстояло сделать Юнгу.
Приведенный выше вывод основан на неявном допущении, что молекулы распределены равномерно с плотностью r , т.е. жидкость не обладает различимой структурой в шкале размеров, соизмеримых с радиусом действия сил d . Без этого предположения нельзя было бы написать выражения (2) и (3) в такой простой форме, а надо было бы выяснить, как присутствие молекулы в первом элементе объема влияет на вероятность наличия молекулы во втором.
Натяжение на единицу длины вдоль произвольной линии на поверхности жидкости должно быть равным (в соответствующей системе единиц) работе, затраченной на создание единицы площади свободной поверхности. Это следует из опыта по растяжению пленки жидкости (рис. 2).
На проволочной рамке держится жидкая пленка, прикрепленная правым краем к свободно перемещаемой проволочке. Сила F , необходимая для уравновешивания натяжения в двусторонней пленке, пропорциональна длине L . Пусть F = 2sL . Смещение проволочки на расстояние dx требует работы Fsdx = sdA , где dA - увеличение площади. Таким образом, натяжение на единицу длины на отдельной поверхности, или поверхностное натяжение s , численно равно поверхностной энергии на единицу площади.
Величина этой работы может быть сразу получена из выражения (6) для F (l ). Если взять два полубесконечных тела в контакте и развести их на расстояние, превышающее радиус действия межмолекулярных сил, работа на единицу площади будет определяться как
(8)
При разделении образуются две свободные поверхности, и потому затраченную работу можно приравнять удвоенной поверхностной энергии на единицу площади, которая равна поверхностному натяжению:
(9)
Таким образом, K есть интеграл от межмолекулярного потенциала, или его нулевой момент, а H - его первый момент. В то время как K недоступно прямому эксперименту, H может быть найдено, если мы сможем измерить поверхностное натяжение.
Пусть ### - плотность когезионной энергии в некоторой точке жидкости или газа, т.е. отношение dU/dV где dU - внутренняя энергия малого объема ###V жидкости или газа, содержащего эту точку. Для молекулярной модели принимаем
(10)
Где r - расстояние от рассматриваемой точки. Рэлей отождествлял лапласовское K с разностью этого потенциала 2### между точкой на плоской поверхности жидкости (значение 2### S ) и точкой внутри (значение 2### I ). На поверхности интегрирование в (10) ограничено полусферой радиуса d , а во внутренней области проводится по всей сфере. Следовательно, ### S есть половина ### I , или
(11)
Рассмотрим теперь каплю радиуса R . Расчет f I не изменяется, но при получении f S интегрирование теперь проводится по более ограниченному объему из-за кривизны поверхности. Если ### - угол между вектором и фиксированным радиусом , то
Тогда внутреннее давление в капле есть
Где H определяется уравнением (9). Если бы мы взяли не сферическую каплю, а порцию жидкости с поверхностью, определяемой двумя главными радиусами кривизны R 1 и R 2 , то получили бы внутренне давление в виде
(14)
По теореме Эйлера сумма равна сумме обратных радиусов кривизны поверхности вдоль любых двух ортогональных касательных.
Так как K и H положительны и R положительно для выпуклой поверхности, то из (13) следует, что внутреннее давление в капле выше, чем в жидкости с плоской поверхностью. Наоборот, внутреннее давление в жидкости, ограниченной вогнутой сферической поверхностью ниже, чем в жидкости с плоской поверхностью, поскольку R в этом случае отрицательно.
Эти результаты составляют основу теории капиллярности Лапласа. Уравнение для разности давлений (давление жидкости внутри сферической капли радиуса R ) и (давление газа снаружи) теперь называют уравнением Лапласа:
(15)
Достаточно трех идей - натяжения у поверхности, внутреннего давления и краевого угла, а также выражений (1) и (15), чтобы решить все задачи обычной равновесной капиллярности методами классической статики. Таким образом, после работ Лапласа и Юнга основы количественной теории капиллярности были заложены.
Результаты Юнга были получены позже Гауссом вариационным методом. Но все эти работы (Юнга, Лапласа и Гаусса) обладали одним общим недостатком, изъяном, если можно так выразиться. Об этом недостатке будет рассказано позже.
При расчете давления внутри искривленной жидкой поверхности был введен потенциал Рэлея 2### (10); попутно было отмечено, что ### I является плотностью когезионной энергии. Впервые это полезное понятие в 1869 г. ввел Дюпре, который определил его как работу дробления куска вещества на составляющие его молекулы (la travail de dйsagrйgation totale - работа полной дезагрегации).
Направленная внутрь сила, действующая на молекулу на глубине r , противоположна по знаку направленной наружу силе, которая бы возникла со стороны молекул в заштрихованном объеме, если бы он был заполнен равномерно с плотностью r .
Он приводит вывод, проделанный его коллегой Ф. Ж. Д. Массье следующим образом. Сила, действующая на молекулу у поверхности по направлению к объему жидкости, противоположна по знаку силе, возникающей от заштрихованного объема на рис. 3, поскольку внутри жидкости сила притяжения от шарового объема радиуса равна нулю из симметрии. Таким образом, сила, направленная внутрь, есть
Эта сила положительна, так как f (0 s d) F(d ) = 0 из-за нечетности функции f (s ). Никакая сила не действует на молекулу, если только она не находится в пределах расстояния d по ту или иную сторону от поверхности. Следовательно, работа удаления одной молекулы из жидкости равна
Поскольку u (r ) - четная функция. Эта работа равна минус удвоенной энергии на молекулу, необходимой для дезинтеграции жидкости (удвоенной , чтобы не считать молекулы дважды: один раз при их удалении, другой раз - как часть среды):
(18)
Это простое и понятное выражение для внутренней энергии U жидкости, содержащей N молекул. Отсюда следует, что плотность когезионной энергии ### дается выражением (10), или
(19)
Что совпадает с (11), если убрать индекс I . Сам Дюпре получил тот же результат окольным путем. Он рассчитывал dU/dV через работу против межмолекулярных сил при однородном расширении куба жидкости. Это дало ему
(20)
Поскольку K
имеет форму
((7) и (11)), где постоянная a
дается выражением
(21)
То интегрирование (20) снова приводит к (19).
Рэлей критиковал вывод Дюпре . Он считал, что рассмотрение работы однородного расширения от состояния баланса когезионных и отталкивающих межмолекулярных сил при учете только когезионных сил было необоснованным; прежде чем предпринять подобный шаг, следовало бы располагать лучшим знанием вида сил отталкивания.
Мы видим, что в этом выводе, как и в выводах Юнга, Лапласа и Гаусса, существенным образом используется предположение о скачкообразном изменении плотности числа молекул вещества на границе раздела фаз. В то же время, чтобы проведенные рассуждения описывали реальные явления в веществе, необходимо предполагать, что радиус действия межмолекулярных сил в веществе много больше характерного расстояния между частицами. Но при этом предположении граница раздела двух фаз не может быть резкой - должен возникнуть непрерывный переходный профиль плотности, иначе говоря, переходная зона 3 .
Были предприняты попытки обобщить эти выводы на непрерывный переходный профиль. В частности, Пуассон, пытаясь пойти по такому пути, пришел к ошибочному выводу, что при наличии переходного профиля поверхностное натяжение должно вообще исчезнуть. Позже Максвелл показал ошибочность такого вывода.
Однако, само предположение о том, что радиус действия межмолекулярных сил в веществе много больше характерного расстояния между частицами не соответствует экспериментальным данным. В действительности, эти расстояния одного порядка. Поэтому механистическое рассмотрение в духе Лапласа является, говоря современным языком, теорией среднего поля. Таковой же является не описанная здесь теория Ван-дер-Ваальса, давшая знаменитое уравнение состояния реальных газов. Во всех этих случаях точный расчет требует учета корелляций между плотностями количества частиц в различных точках. Это делает задачу очень сложной.