Вопрос 7.

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, и в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей и будут рассмотрены ниже.

Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. При решении различных задач часто приходится через данную точку А проводить плоскость β , параллельную данной плоскости α .

На рис. 81 плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми а и b. Искомая плоскость β определена прямыми а1 и b1 , соответственно параллельными a и b и проходящими через заданную точку A1.

Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Перед тем как рассмотреть построение линии пересечения двух плоскостей, разберем важную и вспомогательную задачу: найдем точку К пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью.

Пусть например, даны прямая а и горизонтально проецирующая плоскость α (рис 82). Тогда горизонтальная проекция К1 искомой точки должна одновременно лежать на горизонтальной проекции α1 плоскости α и на горизонтальной проекции а1 прямой а, т.е. в точке пересечения а1 с α1 (рис 83) . Фронтальная проекция К2 точки К расположена на линии проекционной связи и на фронтальной проекции а2 прямой а.

А теперь разберем один из частных случаев пересекающихся плоскостей, когда одна из них – проецирующая.

На рис. 84 приведены плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, и горизонтально проецирующая плоскость α. Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ∆АВС и α будут точки пересечения сторон АВ и ВС треугольника АВС с проецирующей плоскостью α . Построение таких точек D и E как на пространственном чертеже (рис 84) , так и на эпюре (рис 85) не вызывает затруднений после разобранного выше примера.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересечения плоскости ∆ АВС и плоскости α.

Таким образом, горизонтальная проекция D1Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскость α – с ее горизонтальными следом α1.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения α и β (рис 86). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие обеим плоскостям.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять проецирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рис. 86 первая вспомогательная плоскость уровня γ каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h1 , которые определяют точку 1, общую для плоскостей α и β. Эта точка определяется пересечением горизонталей h2 и h3, по которым вспомогательная плоскость δ пересекает каждую из данных плоскостей.

Не меньше 1, так хотя бы 1 элемент отличен от нуля. Пусть 1 и 2 пересекаются они имеют общую линию они имеют общую систему они не параллельны, а так они совместны, значит . Пусть 1 и 2 параллельны: , . Если декартовая система координат, то - нормальные вектора. Косинус угла между двумя векторами:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей:

20. Различные способы задания прямой в пространстве. Прямая и плоскость. 2 прямые в пространстве. Угол между двумя прямыми. Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, где коэффициенты A 1 ,B 1 ,C 1 и A 2 ,B 2 ,C 2 не пропорциональны: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0.Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.Составим уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) параллельно вектору a ={l,m,n}.Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором .Для любой точки М(x,y,z ), лежащей на данной прямой, вектор М 0 М = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0 ) коллинеарен направляющему вектору а . Поэтому имеют место равенства:

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М 1 (х 1 , у 1 , z 1 ) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М 1 М 2 = {x 2 – x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 }, и уравнения (8.11) принимают вид:

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки . Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях за некоторый параметр t , можно получить так называемые параметрические уравнения прямой :

Для того, чтобы перейти от уравнений к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n 1 n 2 ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений, выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

И косинус угла между ними можно найти по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых ,

- условие перпендикулярности прямых . Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

И плоскостью, определяемой общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а : Al + Bm + Cn = 0, а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.

21. каноническое уравнение эллипса. Свойства. называется линия, кото­рая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, при условии a≥b>0. Из уравнения следует, что для всех точек эллипса │x│≤ a и │у│≤ b. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), (-а, 0), (0, b) и (0, -b), называются вершинами эллипса. Числа а и b называются соответ­ственно большой и малой полу­оси. С1. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы - его центром симметрии.Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: х 2 +у 2 =а 2 . При каждом х таком, что I х I < а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства. Гиперболой мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат определя­ется каноническим уравнением x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы │x│≥a, т.е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а. Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами (а, 0) и (-а, 0), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа а и Ь называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.C1. Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы - центром симметрии.Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = кх, поскольку мы уже знаем, что прямая х= 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения x 2 /a 2 – k 2 x 2 /b 2 = 1. Поэтому, если b 2 – a 2 k 2 >0, то x = ± ab / √b 2 – a 2 k 2 . Это позволяет указать координат точек пересечения (аb/u, аbк/u) и (-аb/и,-аbк/u),где обозначено u = (b 2 - а 2 к 2) 1/2 .

Прямые с уравнениями у = Ьх/а и у = -bх/а в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. C2. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно а 2 b 2 /(а 2 + b 2). C3. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю. Введем число с, положив с 2 =а 2 +b 2 и с > 0. Фокусами гиперболы называются точки F 1 u F 2 c координатами (c, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение е = с/а, как и для эллипса, называется эксцентри­ситетом. У гиперболы е > 1. C4. Расстояния от произвольной точки М (х, у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M│=│a+ex│. C5. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее рас­стояний до фокусов по абсолютной величине равнялась ве­щественной оси гиперболы 2а. Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями x=a/ , x=-a/ . C6. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету . Уравнение касательной к гиперболе в точке М 0 (х 0 ,у 0), лежа­щей на ней имеет вид: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. Касательная к гиперболе в точке М 0 (х 0 ,у 0) есть биссектриса угла между отрезками, соединяю­щими эту точку с фокусами.

23. Каноническое уравнение параболы. Свойства. мы назвали линию, которая в неко­торой декартовой прямоугольной системе координат опреде­ляется каноническим уравнением y 2 =2рх, при условии р > 0. Из уравнения вытекает, что для всех точек параболы x≥0. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Фокусом параболы называется точка F с координатами (р/ 2, 0) в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением х=-р/2 в канонической системе координат. C1. Расстояние от точки М (х, у), лежа­щей на параболе, до фокуса равно r=x+p/2. C2. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одина­ково удалена от фокуса и от директрисы, этой параболы. Параболе приписывается эксцентриситет е = 1. В силу этого соглашения формула r/d=e верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке М 0 (х 0 ,y 0), лежащей на ней, имеет вид yy 0 = p(x+x 0). C3 Касательная к параболе в точке М о есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет М о с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы.

24. Алгебраические линии. Задать алгебраические линии на плоскость,значит некоторое алгебраическое ур-ие вида F(x,y)=0 и некоторая аффинная система координат окружности на плоскости, тогда те и только те M(x,y),координаты которых удовлетворяют уравнению,считают лежами на данном уравнении.Аналогично задаются уравнения для поверхности в пространстве.Задать алгебр.ур-ие вида F(x,y,z)=0(z) с 3 переменными и некоторую систему координат OXYZтолько те и те точки F(x,y,z)=0(z) являются уравнением плоскости. При этом мы считаем, что два ур-ия определяют одну и туже линию или поверхность т. и т. т.,когда одно из этих ур-ий получается из другого умножением на некоторый числовой множитель лямбда 0.

25. Понятие алгебраической поверхности. Изучениепроизвольных множеств точек-задача совершенно необъятная.Опр.Алгебраической поверхностью называется множество точек,которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида +…+ =0,где все показатели степени-целые неотрицательные числа.Наибольшая из сумм(разумеется,здесь имеется в виду наибольшая из сумм,фактически входящих в уравнение,т.е.предполагается,что после приведения подобных членов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым коэффициентом,имеющее такую сумму показателей.) + + ,…., + + называется степенью уравнения,а также порядком алгебраической поверхности.Это определение означает,в частности,что сфера,уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид ( +( +( = ,является алгебраической поверхностью второго порядка.Теорема.Алгебраическая поверхность порядка p в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида +…+ =0 порядка p.

26. Цилиндрические поверхности 2-го порядка. Пусть плоскость П дана некоторая прямая 2-го порядка и связка параллельных прямых d таких, что для любого d не параллельного П, тогда множество φ всех точек пространства принадлежащих тем прямым связки, которые пересекают линию γ называется направляющими, а прямые пересекающие φ – образующие. Выведем уравнение цилиндрической поверхности, относительно аффинной системы координат. Пусть в некоторой плоскости П лежит некоторая К, уравнение которой F(x,y)=0, в имеет направление а(а 1 а 2 а 3) d параллелен а. Точка М(x,y,z) лежит на какой-то образующей, а N(x’y’o) – точка пересечения этой образующей с плоскостью П. Вектор MN будет коллинеарен с ta следовательно MN=ta , x’=x+a 1 t ; y’=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t следовательно t= -z/a 3 , тогда x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y’=y- (a 2 z)/a 3 F(x’y’)=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 . Теперь ясно, что уравнение F(x,y)=0 есть уравнение цилиндра с образующими параллельными оси Оy, а F(y,z)=0 с образующими параллельными оси Ох. Частный случай: Пусть прямая связки а параллельна (о,z) следовательно а 1 =0 а 2 =0 а 3 ≠0 F(x,y)=0, поэтому сколько линий второго порядка, столько и цилиндров. Поверхности: 1. Эллиптический цилиндр x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 2. Гиперболический цилиндр x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Параболический цилиндр y 2 =2πx 4. Пара пересекающихся плоскостей x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. Пара параллельных плоскостей x 2 /a 2 =1

27. Канонические поверхности 2-го порядка. Поверхность, на которой имеется точка М о, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М о ≠M содержит прямую (М о М), такая поверхность называется канонической или конусом. М о – вершина конуса, а прямые – ее образующие. Функция F(x,y,z)=0 называется однородной, если F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), где φ(t) – функция от t. Теорема. Если F(x,y,z) однородная функция, то поверхность, определяемая этим уравнением есть каноническая поверхность с вершиной в начале координат. Док-во. Пусть задана аффинная система координат и от нее задано каноническое уравнение с центром F(x,y,z)=0. Рассмотрим уравнение с вершиной в точке O M(x,y,z)=0, тогда всякая точка OM из F будет иметь вид M 1 (tx,ty,tz) на канонической поверхности. M o M(x,y,z), раз удовлетворяет поверхности, то F(tx,ty,tz)=0 функция однородная φ(t) F(x,y,z)=0 следовательно поверхность каноническая. Кривые 2-го порядка явл сечениями в конечной поверхности плоскостей x 2 +y 2 -z 2 =0/ При сечении канонических поверхностей плоскостями получаем в сечении следующие линии: а) плоскость проходящую через точку или пара слившихся прямых и пара пересекающихся прямых. Б) плоскость не проходит через вершину конуса следовательно получаем в сечении либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу.

28. Поверхности вращения. Пусть в 3-мерном пространстве дан декартовый репер. Плоскость П проходит через Oz, в плоскости Ozy задана γ и угол xOy=φ γ имеет вид u=f(z). Возьмем точку M из γ относительно репера Oxyz. γ – описанная окружность γМ по всем точкам М из γ называется отображением. Сечением поверхности вращения плоскости, проходящей через ось вращения называется меридианом. Сечением поверхности вращения плоскости перпендикулярной оси вращения называется параллельной. Уравнение поверхности вращения x 2 +y 2 =f 2 (z) – уравнение поверхности вращения. 1) Если угол φ=0, то γ лежит в плоскости xOz, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ лежит в плоскости xOy и уравнение ее y=g(x), тогда y 2 +z 2 =g 2 (x) 3) γ лежит в плоскости yOz и уравнение ее z=h(y), тогда z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. Эллипсоиды. Поверхность, которая получается при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор е 3 сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим ур-я эллипса в следующих видах: . В силу формулы ур-я соответствующих поверхностей вращения будут = 1 (a>c). Поверхности с такими ур-ями называются сжатым (а) и втянутым (б) эллипсоидами вращения.

Каждую точку М (x, y, z) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости y=0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшалось в постоянном для всех точек отношении λ<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. Гиперболоиды. Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 48) . В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 мы получаем однополостный гиперболоид с ур-ем . Интересное св-во однополостного гиперболоида – наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однопол гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, ур-я которых можно получить следующим образом. Ур-е (8) можно переписать в виде . Рассмотрим прямую линию с ур-ями μ =λ , λ =μ (9), где λ и μ – некоторые числа (λ 2 +μ 2 ≠0). Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим ур-ям, а следовательно и ур-ю (8), которое получается почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были λ и μ прямая с ур-ями (9) лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, система (9) определяет семейство прямолинейных образующих. Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. Пр и сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность, получаемая вращением гиперболы вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле мы получаем ур-е двуполостного гиперболоида вращения В результате сжатия этой поверхности к плоскости y=0 получается поверхность с ур-ем (12). Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет ур-е вида (12), называет двуполостным гиперболоидом (рис. 49). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности. Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

31. Параболоиды. Эллиптический параболоид. Вращая параболу x 2 =2pz вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с ур-ем x 2 +y 2 =2pz. Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости y=0 переводит параболоид вращения в поверхность, ур-е которой приводится к виду 2z (14). Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом. Гиперболический параболоид. По аналогии с ур-ем (14) мы можем написать ур-е Поверхность, которая имеет такое ур-е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом. Из канонического уравнения z= x 2 /a 2 - y 2 /b 2 гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Оz называется осью гипер­болического параболоида.. Линии z=h пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z=h представляют собой при h > 0 гиперболы x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√h, b * =b√h , а при h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида z = х + iу, где х и у - действительные числа, i - мнимая единица. Число х называется действительной частью числа z и обозначается Rе(z), а число у - мнимой частью числа z и обозначается Im(z). Числа z = х + iу и z = х - iу называются сопряженными. Два комплексных числа z 1 = х 1 + iу 1 и z 2 = х 2 + iу 2 назы­ваются равными, если равны их действительные и мнимые части. В частности i 2 =-1. Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом. 1. Сложение: z 1+ z 2 =x 1 +x 2 +i(y 1 +y 2); 2.Вычитание: z 1 -z 2 =x 1 -x 2 +i(y 1 -y 2); 3.Умножение: z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1); Деление: z 1 /z 2 =((x 1 x 2 +y 1 y 2)+i(x 2 y 1 - x 1 y 2))/x 2 2 +y 2 2 . Для представления к.ч. служат точки коорди­натной плоскости Оху. Плоскость называет­ся комплексной, если каждому к.ч. z = х + iу ставит­ся в соответствие точка плоскости z(х, у), при­чем это соответствие взаимно однозначное. Оси Ох и Оу, на кото­рых расположены дей­ствительные числа z=x+0i=x и чисто мнимые числа z=0+iy=iy, называются соответсвенно действительной и мнимой осями

33. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент j(x=r cosj,y=r sinj), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj). Особенности тригонометрической формы: 1)первый множитель неотрицательное число, r³0; 2)записаны косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена на sinj. Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: z=re i j . Где e i j - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: z= n =r n (cosnj+isin nj), где r - модуль, а j - аргумент комплексного числа.

34. Операции над многочленами. Алгоритм Евклида. Общий вид уравнения n-ой степени: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). Определяется набор коэффициентов. (а 0 ,а 1 ,…,a n -1, a n)-произвольные комплексные числа. Рассмотрим левую часть (1): a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -многочлены n-ой степени. Два многочлена f(x) и g(x) будим считать равными или тождественно равными, если равны коэффициенты при одинаковых степенях. Любой многочлен определяется набором коэффициентов.

Определим операции сложения и умножения над многочленами: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i если i=0,1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 =a 0 b 0 ; d 1 =a 0 b 1 +a 0 b 1 ; d 2 =a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 . Степень произведения многочленов равна сумме и операции обладают свойствами: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k +b k)+c k =a k +(b k +c k); 3) . Многочлен f(x) называется обратным (x), если f(x)* (x)=1. Во множестве многочленов операция деления не возможна. В Евклидовом пространстве для многочлена существует алгоритм деления с остатком. f(x) и g(x) существуют r(x) и q(x) определены однозначно. ; ; f(x)=g(x); ; . Степень правой части £ степени g(x) , а степень левой части отсюда отсюда – мы пришли к противоречию. Доказываем первую часть теоремы: . Домножим g(x ) на такой многочлен, чтобы старшие коэффициенты умножались.

После k шагов.

; ; имеет меньшую степень q(x ). Многочлен q(x )- частное от f(x), a r(x ) –остаток от деления. Если f(x) и g(x) имеют действительные коэффициенты, то q(x) и r(x) – тоже действительные.

35.Делитель многочленов. НОД. Пусть даны два ненулевых многочлена f(x) и j(x)с комплексными коэффициентами. Если остаток равен нулю, то говорят, что f(x) делится на j(x), если j(x) является делителем f(x). Cв-ва многочлена j(x): 1)Многочлен j(x) будет делителем f(x), если существует Y(х) и f(x)= j(x)* Y(х) (1). j(x)-делитель, Y(х) -частное. Пусть Y(х) удовлетворяет (1), тогда из предыдущей теоремы Y(х) является частным, а остаток равен 0. Если(1) выполняется, то j(x)-делитель, отсюда j(x)<= степени f(x). Основные св-ва делимости многочлена: 1) ; 2 f(x) и g(x) делятся на j(х), то делятся на j(x); 3)если ; 4)если f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c ; 6) если f(x):j(x), то f(x):cj(x); 7)Многочлен cf(x) и только они будут делителями многочлена j(х), имеющие такую же степень, что и f(x); 8)f(x):g(x) и g(x):f(x), то g(x)=cf(x); 9)Всякий делитель одного из f(x) и cf(x), с¹0 будет делителем для другого. Опр-ние: Наибольший общий делитель (НОД). Многочлен j(х) будем называть НОД f(x) и g(x), если он делит каждого из них. Многочлены нулевой степени всегда являются НОД и являются взаимопростыми. НОД отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется d(x), который явл. общим делителем и делится на любой другой делитель и общий этих многочленов. НОД f(x) и g(x)= (f(x):g(x)). Алгоритм нахождения НОД: Пусть степень g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-НОД. Докажем. r k (x) делитель r k -1 (x)®он делитель r k -2 (x)…®он делитель g(x)®делитель f(x). g(x)g 1 (x) делится на r k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) делится на r k (x)® r 1 (x) делится на r k (x)® r 2 (x) делится на r k (x)®… q k (x): r k (x) делится на r k (x).

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

При взаимном расположении двух плоскостей в пространстве возможен один из двух взаимно исключающих случаев.

1. Две плоскости имеют общую точку. Тогда по аксиоме пересечения двух плоскостей они имеют общую прямую. Аксиома R5 гласит: если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая. Из этой аксиомы следует, что у плоскостей Такие плоскости называются пересекающимися.

Две плоскости не имеют общей точки.

3. Две плоскости совпадают

3. Векторы на плоскости и в пространстве

Вектор -- это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка. Если даны две точки M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2), то вектор

Если даны два вектора и то,

1. Длины векторов

2. Сумма векторов:

3. Суммой двух векторов a и b является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма); или вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего -- по правилу треугольника. Суммой трех векторов a, b, c называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах(правило параллелепипеда).

Рассмотрим:

• 1. Начало координат -- в точке A;
• 2. Сторона куба -- единичный отрезок.
• 3. Ось ОХ направляем по ребру AB, ОY -- по ребру AD, а ось OZ -- по ребру AA1.

Для нижней плоскости куба

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.61).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.

Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.

Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

Рисунок 61. Параллельные плоскости

2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.62).

Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.

Требуется построить линию пересечения плоскостей.

Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3.

Рисунок 62. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.63)

Рисунок 63. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.

Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.64).

Рисунок 64. Взаимно перпендикулярные плоскости