План-конспект урока "Пирамида. Усеченная пирамида"

Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями , а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.

В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной .

Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.

Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми , а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания .

Пирамиду называют правильной , если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Для любой пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S осн , где

S полн – площадь полной поверхности пирамиды;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;

S осн – площадь основания пирамиды.

2) V = 1/3 S осн · Н , где

V – объем пирамиды;

Н – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды имеет место:

S бок = 1/2 P осн h , где

P осн – периметр основания пирамиды;

h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.

Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой .

Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми . Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми .

Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники . Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной .

Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S 1 + S 2 , где

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;

S 1 , S 2 – площади оснований;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H , где

V – объем усеченной пирамиды;

H – высота усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды также имеем:

S бок = 1/2(P 1 + P 2) · h, где

P 1 , P 2 – периметры оснований;

h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).

Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.

Задача 1.

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке1.

1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), где S 1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 . Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Отсюда S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.

Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

Ответ: 1900.

Задача 2.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?

Решение.

Рассмотрим АВСА 1 В 1 С 1 – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1: 2, то площади оснований относятся как 1: 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , где S 2 – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA 1 B 1 C 1 составляет V 1 = S 2 · h и, значит,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .

Итак, V 2: V 1 = 3: 4.

Ответ: 3: 4.

Задача 3.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , изображенную на рис. 3.

Обозначим О 1 О 2 = х, тогда ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.

Рассмотрим треугольник В 1 О 2 D 1 и треугольник ВО 2 D:

угол В 1 О 2 D 1 равен углу ВО 2 D как вертикальные;

угол ВDO 2 равен углу D 1 B 1 O 2 и угол O 2 ВD равен углу B 1 D 1 O 2 как накрест лежащие при B 1 D 1 || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.

Следовательно, треугольник В 1 О 2 D 1 подобен треугольнику ВО 2 D и имеет место отношение сторон:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.

Рассмотрим треугольник В 1 D 1 В и треугольник LО 2 B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B 1 D 1 || LM, значит, треугольник В 1 D 1 В подобен треугольнику LО 2 B, откуда В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тогда S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Итак, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Ответ: 152/27; 37/27.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

S пол = Sосн + S бок.

III этап: Виртуальное путешествие в мир пирамид - презентация учащихся

IV этап - Изучение новой темы - сопровождается мультимедийной презентацией

Изучаемые понятия:

Запишите тему.

Дом. задание: № 70.

VI этап Рефлексия.

Контрольные вопросы

7. Что такое высота пирамиды?

Дом задание: №75

Выставление оценок

Приложение 1

Приложение 2

Волшебные свойства пирамид

Другой способ достижения эффекта — поставить в пирамиду чистую родниковую воду, выдержать ее в течение суток, а затем перед сном втирать в кожу головы. По времени это дольше, но практичней.

Например, если разводить рыбы в стеклянной пирамиде-аквариуме - результат поразительный: вода самоочищается! Нет никаких признаков гниения, нет налета тины на дне, не зеленеют стекла и не нужно тратить деньги на покупку аквариумных фильтров — пирамида всё очищает сама. Геометрия пирамиды структурирует молекулы воды особым образом, задавая программу к подавлению гниения внутри аквариума.

Пирамида — это гаситель излучений. Если ее поставить на компьютер и правильно ориентировать по сторонам света, пирамида создаст более благотворное поле. Чем крупнее пирамида, тем больше ее фактор добра. Все негативное воздействие будет либо погашено, либо перераспределено во что-то нейтральное.

Просмотр содержимого документа
«Усеченные пирамиды »

Тема урока: Усеченная пирамида, ее основные элементы.

Цели урока:

Образовательные: ознакомить учащихся с понятием усеченная пирамида, её элементами и формулами для вычисления площадей боковой и полной поверхностей;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся, умение изображать пирамиды и распознавать их среди других пространственных фигур;

Воспитывающие: данная тема способствует воспитанию любознательности, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур.

Тип урока: ознакомление с новым материалом

ТО урока: интерактивная доска, компьютер, презентации «Пирамиды», «Усеченные пирамиды», « Виртуальное путешествие в мир пирамид».

Этапы урока:

I этап: организационный

II этап Актуализация знаний

1) устный опрос с использованием слайдов

Перечень вопросов:

(слайд 2)- среди изображенных фигур назовите номера тех, которые являются пирамидами.

Среди моделей тоже отберите пирамиды.

Какой многогранник называют пирамидой? Назвать и показать их основные элементы, показать их на моделях. (Слайды 3,4)

Виды пирамид. (слайды 5-7)

Сделать чертеж треугольной и четырехугольной пирамиды.

Из чего состоит полная поверхность пирамиды? (слайд 8)

Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды. (Слайд 9)

Формулы для вычисления площадей поверхностей пирамид (записать на доске, проверить на экране) (слайд 10-11)

2) решить задачу из учебника по готовым чертежам

S пол = Sосн + S бок.

III этап: Виртуальное путешествие в мир пирамид – презентация учащихся

IV этап – Изучение новой темы – сопровождается мультимедийной презентацией

Изучаемые понятия:

Усеченная пирамида (определение);

Элементы усеченной пирамиды;

Правильная усеченная пирамида;

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды;

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Запишите тему.

Начертите каждый у себя в тетради произвольную пирамиду.

Проведите плоскость, параллельную основанию.

Эта плоскость делить пирамиду на две части. Что вы можете сказать о них?

Дайте определение усеченной пирамиды.

Назовите основные элементы усеченной пирамиды.

Что вы можете сказать про боковые грани?

Какую усеченную пирамиду называют правильной? Что можно сказать о её боковых гранях?

Из чего состоит полная поверхность усеченной пирамиды?

Написать формулу для расчета ее полной поверхности.

Из чего состоит боковая поверхность?

Назовите предметы имеющие форму усеченной пирамиды. (слайд)

V этап Решение задач - № 71, 77 из учебника Геометрия 7-11 А.В.Погорелов.

Решение задач парами. (приложение 1)

Дом. задание: № 70.

VI этап Рефлексия.

Контрольные вопросы

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется треугольной?

3. Какая пирамида называется правильной?

4. Что такое апофема правильной пирамиды?

5 Какая пирамида называется тетраэдром?

6. Какая пирамида называется усеченной?

7. Что такое высота пирамиды?

8. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

9. Чему равна площадь боковой поверхности усеченной пирамиды?

Дом задание: №75

Выставление оценок

Приложение 1

Решение задач на выбор - пары выбирают задачу и решают.

1. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

2. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.

3. У четырехугольной усечённой пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.

4. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания a проведена плоскость, пересекающая противолежащая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.

5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

6. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны a и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен a. Найдите объем пирамиды.

7. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на её основании.

8. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

Приложение 2

Волшебные свойства пирамид

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - что означает огонь, а огонь, как известно - символ жизни всех созданий.

Пирамиды можно отнести к одним из самых загадочных на планете.

В настоящее время доказано, что пиpамида концентpиpyет в себе качественнyю энеpгию, полезнyю для человека. Установлено, что объекты в форме пирамиды оказывают на окружающую среду положительное воздействие.

Чешский инженер Карел Дюбан, специалист по радиоволнам, утверждал. что пирамиды концентрируют космическую энергию, которая и является в них "действующим лицом".

Он обнаружил связь между формой пространства пирамиды и биологическими и физико-химическими процессами, происходящими в этом пространстве.

Оказалось, что энергия формы пирамиды "умеет делать" очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживлению, тонизирует организм, уменьшает воспалительную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучшения пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет. Если сидеть под пирамидой,то улучшается процесс медитации, уменьшается интенсивность головной и зубной боли, ускоряется заживление ран и язв. Пирамиды устраняют вокруг себя геопатогенное воздействие и гармонизируют внутреннее пространство помещений. Голландский исследователь пирамид Пауль Ликенс экспериментировал с самыми разными материалами: с семенами огородных культур (редька вырастала в 2 раза большая по размерам, чем контрольная из того же набора семян), травами - остаются зелеными и продолжают нести свой энергетический заряд, целебная сила значительно увеличивается.

Если в квартире поставить пирамиду с определенными параметрами, тараканы покидают помещение.

Одевая на голову облысевшего человека модель пирамидальной конструкции и ориентируя ее по сторонам света, достигается эффект стимуляции луковиц волос. Гармоничное излучение, генерируемое моделью пирамиды, проникает в достаточной мере в структуру кожи и способствует эффекту нежного массажа луковиц волос.

Другой способ достижения эффекта - поставить в пирамиду чистую родниковую воду, выдержать ее в течение суток, а затем перед сном втирать в кожу головы. По времени это дольше, но практичней.

Применение данного способа актуально в условиях повышенной радиации, когда многие дети лишаются волос. Это безмедикаментозный способ, не требующий больших финансовых затрат, прост в применении.

По утверждению ряда испытателей, обыкновенная вода прекрасно улавливает энергию пирамид и проявляет новые свойства: приобретает вкус чистой ключевой, оказывает оздоровляющее действие, стимулирует рост растений, известно также об эффективности применения подобной воды для укрепления волос, удаления перхоти, смягчения кожи и разглаживания морщин, избавления от потливости ног и т.д.

Например, если разводить рыбы в стеклянной пирамиде-аквариуме - результат поразительный: вода самоочищается! Нет никаких признаков гниения, нет налета тины на дне, не зеленеют стекла и не нужно тратить деньги на покупку аквариумных фильтров - пирамида всё очищает сама. Геометрия пирамиды структурирует молекулы воды особым образом, задавая программу к подавлению гниения внутри аквариума.

Ещё пример. ИЗВЕСТНЫЙ ГЕНЕТИК ГЕННАДИЙ БЕРДЫШЕВ говорит: "МЯСО В МОЕЙ ПИРАМИДЕ МОЖЕТ ДАЖЕ В ЖАРУ ЛЕЖАТЬ БЕЗ ХОЛОДИЛЬНИКА ЦЕЛУЮ НЕДЕЛЮ!"

Построив у себя на даче пирамиду, известный ученый говорит, что в ней он сбрасывает годы.

Пирамида - это гаситель излучений. Если ее поставить на компьютер и правильно ориентировать по сторонам света, пирамида создаст более благотворное поле. Чем крупнее пирамида, тем больше ее фактор добра. Все негативное воздействие будет либо погашено, либо перераспределено во что-то нейтральное.

И таких примеров можно привести много.

Пирамида, при условии, что она будет ориентирована ребрами основания по сторонам света, превращается в аккумулятор космической энергии. Поэтому, в последние годы в моде всякие сувениры в форме пирамид: считается, что они очищают пространство, излучают позитивную энергию.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ШКОЛА №2» ГОРОДА АЛУШТЫ

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Решение задач.

Пирамида. Усеченная пирамида

Учитель математики

Пихидчук Ирина Анатольевна

2016 г.

УРОК

Геометрия. 11 класс.

Урок рассчитан на 3 часа. Рекомендуется проводить при обобщающем повторении.

ТЕМА: Пирамида. Усеченная пирамида. Решение задач.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА: Подготовка к контрольной работе (выявить проблемы; систематизировать и откорректировать знания по теме).

ЦЕЛИ: 1) Проверить знание определений: угол между прямой и плоскостью; линейный угол двугранного угла (построение); правильная пирамида.

Повторить формулы: объем пирамиды; радиусы вписанной и описанной около многоугольника окружности;

проверить навыки построения рисунка; умение обосновывать углы между боковым ребром и плоскостью основания, между боковой гранью и плоскостью основания.

закрепить вычислительные навыки.

ХОД УРОКА:

Организационный момент. Сообщение целей и задач урока.

Повторение.

Рисунки на откидной доске:

Задание к рисункам: сформулировать определение угла между прямой и плоскостью. Показать на рисунках угол и обосновать.

Основная доска

Показать угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды. Вычислить объем пирамиды если сторона основания равна а, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен а.

Найти объем каждой из заданных правильных пирамид

ВЫВОД: 1) Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности;

2) Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды - это угол между апофемой и радиусом вписанной в основание окружности.

Домашнее задание на карточках (задание прилагаются).

Геометрия 11 класс, (продолжение)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ: Пирамида. Усеченная пирамида.

Задача № 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Две грани, содержащие катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Покажите углы между боковыми ребрами и плоскостью основания. Будут ли они равны если треугольник равнобедренный.

Задача № 2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом. Постройте высоту пирамиды и углы между боковыми ребрами и плоскостью основания (построение обосновать)

ВЫВОД: Высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности если: боковые ребра равны; боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом; пирамида правильная.

Домашнее задание. В правильной пирамиде (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) построить угол между боковой гранью и плоскостью основания. Построение обосновать.

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Свойства усеченной пирамиды:

• Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники.
• Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.
• Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
• Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
• Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Пусть - высота усеченной пирамиды, и - периметры оснований усеченной пирамиды, и - площади оснований усеченной пирамиды, - площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, - площадь полной поверхности усеченной пирамиды, - объем усеченной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

.

Если все двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды равны , то

Задача

Решение .

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.

Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN = 13

Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO 2 + 25
CO 2 = 39
CO = √39

Соответственно, величина ребра CN будет равна
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Ответ : 13, 13 , √183

Задача

Решение .
Объем пирамиды найдем по формуле:
V = 1/3 Sh

Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
откуда
V = 1/3 * 24 *10 = 80 см 3 .